Lineare Algebra

Aktuelles  

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• MATERIALIEN zur Vorlesung.

Referenzen

• [CS] Videos von Christian Spannagel (https://www.youtube.com/user/pharithmetik)
• [JL] Videos von Jörn Loviscach (https://www.youtube.com/user/JoernLoviscach)
• [OT] Tutor Jens (www.onlinetutorium.com)
• [SK] Videos von Salman Khan (https://www.khanacademy.org/)

Weitere Infos

Studienstart

• Mathe-Vorkurs von Jörn Loviscach, oder auch www.fh-rosenheim.de/studienvorbereitung.html
• Grundlegende Software zum Studium von Jörn Loviscach, insbesondere:
• Wolfram-α: Doku/Beispiele, Doku/Beispiele Maths
• Infos zum Bachelorstudiengang Wirtschaftsmathematik-Aktuarwissenschaften in Rosenheim:
• Homepage des Studiengangs WMA
• WMA auf Instagram
• Wieviel Zeit sollte ich in einem Bachelor-Studium aufwenden? Workload-Berechnung nach Bologna...
• Beratung: Studiengang und übergreifend, soziale und psychologische Beratung

Abgabe Übungsblätter

• Bearbeitung in 1-2er Gruppen, Bearbeiter-Namen im Dokument nicht vergessen!
• 50% der Punkte sind verpflichtend als ZV für die schriftliche Prüfung!
• Abgabe-Datei: 
• Genau eine PDF-Datei (keine einzelnen JPGs) 
• Dateiname: <Email>_u<Blattnr.>.pdf, z.B. huber@gmx.com_u01.pdf 
• Die Email wird für die Rückgabe benutzt!
• Bitte benutzen Sie den Upload-Link oben, bitte keine Mail an mich mit Anhang!
• ✋ Ihre Abgabe wird nicht bewertet, falls nicht genau eine PDF-Datei oder zu spät abgegeben wird ✋ 
• Hinweis zur PDF-Erstellung: 
• Entweder Sie erstellen Ihre Lösung mit einem PC/Tablet mit Touchscreen/Stifteingabe und z.B. der Anwendung Xournal++, OneNote, etc. oder 
• Sie fotografieren Ihre Papier-Seiten mit Ihrem Smartphone und z.B. der App Microsoft Office Lens - PDF Scanner, siehe Video-Tutorial 
• Sie müssen die Datei aber noch umbenennen, s.o. 
• und laden diese unter obigem "Upload"-Link hoch, d.h. im Browser auf dem Smartphone diese Seite laden und den "Upload"-Link drücken, dann PDF auswählen.

Tipps zu den Lernmaterialien

• Der Ordner MATERIALIEN wird über die Hochschul-Cloud (LRZ Sync+Share) bereitgestellt.
• mit Ordner auf Festplatte synchronisieren: Windows-PC, Linux-PC, MAC
• Android (Google PlayStore), iOS (Apple App-Store)
• Info unter: https://www.fh-rosenheim.de/intranet/einrichtungen/rechenzentrum/it-services/zentrale-speichermoeglichkeiten/hochschul-cloud/
• Watch YouTube videos with higher speed

Inverted Classroom

• Inverted Classroom: 
• Inverted Classroom als moderne digitale Lehrmethode (auf YouTube) 3:09 
• https://de.wikipedia.org/wiki/Umgedrehter_Unterricht
• Workload-Berechnung von LA nach Bologna (10 CP = 300h Arbeit):
• Präsenz: 8h/Woche (8h*15 = 120h)
• Selbststudium: 12h/Woche (12h*15 = 180h)

Weiterführende Empfehlungen

• Viele Bücher bekommen Sie als eBook kostenlos über die Hochschule:
• über OPAC im Netzwerk der Hochschule, von zu Hause über VPN
• auf der Springer-Verlag-Seite: "Log in" > "Log in via Shibboleth or Athens" > "find your institution (via Shibboleth)" > "Technische Hochschule Rosenheim"
• Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Gerd Fischer, Springer Verlag
• Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1, Florian Modler, Martin Kreh, Springer Verlag
• Repetitorium der Linearen Algebra, Teil 1/2, Binomi Verlag
• MOOC: Mathematisch denken! auf iversity
• MOOC: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf iversity

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Vorlesung - Inhalt und Termine

Organisatorisches...	Di 5.10.
Grundlagen
1. Logik	V1: Mi-1 Ü: Mi-2 6.10.
2. Mengen	V2: Di 12.10.
3. Funktionen	V3 / 4: Mi-1/2 13.10. Ü: tba
Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
4. Lineare Gleichungssysteme	V5: Di 19.10.
5. Matrizen	V6 / 7 / 8: Mi-1/2 20.10., Di 26.10.
6. Determinante	V9 / 10: Mi-2 27.10., Di 2.11. Ü: Mi-1 3.11.
Vektorräume
7. Vektorräume	V11 / 12 / 13: Mi-2 3.11., Di 9.11., Mi-1/2 10.11., Di 16.11., Mi-1/2 17.11.
8. Basis und Dimension	V14 / 15 / 16: Di 23.11., Mi-1/2 24.11., Di 30.11.
9. Rang von Matrizen	V17 / 18: Mi-1/2 1.12.
Lineare Abbildungen und Eigenwerttheorie
10. Lineare Abbildungen	V19 / 20 / 21: Di 7.12., Mi-1/2 8.12.
11. Darstellende Matrizen	V22: Di 14.12.
12. Eigenwerte	V23 / 24: Mi 15.12., Di 21.12.
Probeklausur: Bitte bearbeiten Sie die Probeklausur vorab, wiederholen Themen bei Wissenslücken und bereiten Fragen vor! 👍 Die Lösung können Sie sich nach der Vorlesung hier ansehen: Lineare Algebra - Probeprüfung 1 (1:53:17)	Mi-2 22.12.
13. Diagonalisierung	V25 / 26: Mi-1 22.12., Di 11.1.
Euklidische Vektorräume
14. Euklidische Vektorräume	V27 / 28 / 29: Mi-1 12.1., Mi-2 12.1., Di 18.1.
15. Hauptachsentransformation	V30: Mi-1 19.1.
Probeklausur: Bitte bearbeiten Sie die Probeklausur vorab, wiederholen Themen bei Wissenslücken und bereiten Fragen vor! 👍	Mi-2 19.1., Di 25.1.

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Vorlesung 1 - Logik

• Skript "01_Logik-Skript.pdf"
• YouTube Playlist
• Logik 01 - Intro 8:34
• Logik 02 - Aussagen 5:35
• Logik 03 - Umgangssprache und Wahrheitstafeln 8:24
• Logik 04 - Verknüpfungen von Aussagen 12:22
• Logik 05 - Rechenregeln 10:02
• Logik 06 - Prädikate 5:56
• Logik 07 - Quantoren 15:15
• Bitte meinen Kanal abonnieren und die 🔔 drücken (Liken 👍 und kommentieren 😊):
  
  
  
  

Ergänzungen:

• https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie
• https://de.wikipedia.org/wiki/Barbier-Paradoxon

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Vorlesung 2 - Mengen

• Skript "02_Mengen-Skript.pdf"
• Mengen 01 - Zahlenmengen: Natürliche, ganze und rationale Zahlen 3:33 [JL]
• Mengen 02 - Zahlenmengen: Reelle Zahlen 4:54 [JL]
• Mengen 03 - Zahlenmengen: Intervalle reeller Zahlen 2:41 [JL]
• Mengen 04 - Konzept (erst ab 5:47 min.!) 14:51 [CS]
• Mengen 05 - Konzept 13:29 [CS]
• Mengen 06 - Mengenoperationen 14:59 [CS]
• Mengen 07 - Mengenoperationen 14:58 [CS]
• Mengen 08 - Mengenoperationen (nur bis 6:00 min.!) 14:13 [CS]
• Mengen 09 - Übung: De Morgan 12:29 [CS]
• Quiz zu Mengen: Testen Sie Ihr Wissen...

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Vorlesung 3/4 - Funktionen

• Skript "03_Funktionen-Skript.pdf"
• Text "03_Funktionen-Skript-Vorlage.pdf"
• Beides finden Sie unter MATERIALIEN/1_Skripte.

V3: Definition Funktion, Bild, Urbild, Graph, injektiv, surjektiv, bijektiv

• Bearbeiten Sie das Skript "03_Funktionen-Skript.pdf" (S. 1-11, bis einschließlich des Abschnitts "Wichtige Beispiele") mit Hilfe von "03_Funktionen-Skript-Vorlage.pdf". 

V4: Verknüpfung, Umkehrfunktion, umkehrbar/invertierbar

• Bearbeiten Sie das Skript "03_Funktionen-Skript.pdf" (S. 12-17, ab Abschnitt "Verknüpfung") mit Hilfe von "03_Funktionen-Skript-Vorlage.pdf".
• Zu folgenden Inhalten gibt es kein Skript. Diese dienen als Vorbereitung für den Exkurs "Mächtigkeit von nicht endlichen Mengen und die Kontinuumshypothese" in der Vorlesungsvorlage:
• Video: Hilberts Hotel, Zahlen und Unendlichkeiten 11:12
• überfliegen Sie die Abschnitte 1-3 in https://de.wikipedia.org/wiki/Kontinuumshypothese

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Vorlesung 5 - Lineare Gleichungssysteme

• Skript "04_Lineare Gleichungssysteme-Skript.pdf" 
• Lineare Gleichungssysteme 01- Intro 8:46
• Lineare Gleichungssysteme 02 - Gauß-Algorithmus an Beispielen, Teil 1 9:19
• Lineare Gleichungssysteme 03 - Gauß Algorithmus an Beispielen, Teil 2 10:07
• Lineare Gleichungssysteme 04 - Definition LGS, homogen/inhomogen, (erweiterte) Koeffizientenmatrix 4:23
• Lineare Gleichungssysteme 05 - Beispiel zu homogen/inhomogen, (erweiterte) Koeffizientenmatrix, Gauß-Algorithmus 6:18
• Lineare Gleichungssysteme 06 - LGS in Wolfram-Alpha 4:48
• bitte testen unter https://www.wolframalpha.com
• Lineare Gleichungssysteme 07 - Gauß-Algorithmus 1/4: Elementare Zeilenumformungen 11:25
• Lineare Gleichungssysteme 08 - Gauß-Algorithmus 2/4: (reduzierte) Zeilenstufenform 4:18
• Lineare Gleichungssysteme 09 - Gauß-Algorithmus 3/4: Umformen auf (reduzierte) Zeilenstufenform durch elementare Zeilenumformungen 6:56
• Lineare Gleichungssysteme 10 - Gauß-Algorithmus 4/4: Ablesen der allgemeinen Lösung mit freien Variablen 6:11

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Vorlesung 6/7/8 - Matrizen

• Skript "05_Matrizen-Skript.pdf"

V6: Definition Matrix, Operationen und Rechenregeln

• Matrizen 01 - Begriffe und Beispiele: Definition, Gleichheit, Menge R^(mxn) 7:15
• Matrizen 02 - Operationen: Addition, Skalarmultiplikation 7:52
• Matrizen 03 - Operationen: Transposition / Transponieren und symmetrische Matrix 7:50
• Matrizen 04 - Rechenregeln für Addition, Skalarmultiplikation, Transposition 5:08
• Matrizen 05 - Beweis der Rechenregeln für Addition, Skalarmultiplikation, Transposition 3:15
• Matrizen 06 - Operationen: Definition Matrixmultiplikation / Matrizenprodukt und Beispiele 9:26
• Matrizen 07 - Einheitsmatrix, quadratische Matrix und Matrixpotenzen 5:45
• Matrizen 08 - Matrizenoperationen in Wolfram-Alpha 4:26
• bitte testen unter https://www.wolframalpha.com

V7: Rechenregeln und inverse Matrix

• Matrizen 09 - Rechenregeln für Matrixmultiplikation / Matrizenprodukt 6:48
• Matrizen 10 - Beweis der Rechenregeln für Matrixmultiplikation / Matrizenprodukt 9:16
• Matrizen 11 - lineares Gleichungssystem (LGS) und Matrixprodukt 3:37
• Matrizen 12 - Inverse Matrix: Motivation 3:26
• Matrizen 13 - Inverse Matrix: Definition und Beispiele 7:00
• Matrizen 14 - Inverse Matrix: Bedingung und Formel für 2x2-Matrizen 5:14
• Matrizen 15 - Inverse Matrix: Rechenregeln mit Beispiel 5:21
• Matrizen 16 - Elementarmatrizen und elementare Zeilenumformungen 10:39

V8: inverse Matrix und Inversen-Algorithmus

• Matrizen 17 - Elementarmatrizen sind invertierbar, Berechnung der Inversen 5:16
• Matrizen 18 - Zeilenäquivalenz: Definition und Beispiel 1:36
• Matrizen 19 - Zeilenäquivalenz: Lemma mit Elementarmatrizen und reduzierter Zeilenstufenform 6:30
• Matrizen 20 - Zeilenäquivalenz: Satz über Invertierbarkeit von Matrizen mit Beweis 10:53
• Matrizen 21 - Inversen-Algorithmus: Berechnung der inversen Matrix, Satz und Beweis 6:56
• Matrizen 22 - Inversen-Algorithmus: Berechnung der inversen Matrix, Beispiel 1: invertierbare Matrix 4:32
• Matrizen 23 - Inversen-Algorithmus: Berechnung der inversen Matrix, Beispiel 2: nicht invertierbare Matrix 3:19
• Matrizen 24 - Inversen-Algorithmus: Berechnung der inversen Matrix, Beispiel 3: Matrix mit Parameter 4:04

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Vorlesung 9/10 - Determinante

• Skript "06_Determinante-Skript.pdf"

V9:

• Determinante 01 - Begriffe: Motivation, Streichungsmatrix, Entwicklung nach der ersten Zeile 5:44
• Determinante 02 - Übung: Streichungsmatrix, Entwicklung nach der ersten Zeile 9:18
• Determinante 03 - Übung: Formel Determinante einer 2x2-Matrix 2:43
• Determinante 04 - Laplace'scher Entwicklungssatz: Entwicklung nach i-ter Zeile, j-ter Spalte 2:00
• Determinante 05 - Übung zu Laplace'scher Entwicklungssatz: Entwicklung nach i-ter Zeile, j-ter Spalte 9:24
• Determinante 06 - Übung zu Laplace'scher Entwicklungssatz: Determinante obere Dreiecksmatrix 6:23
• Determinante 07 - Determinante und elementare Zeilenumformungen 3:35
• Determinante 08 - Übung: Determinante und elementare Zeilenumformungen, Determinante in Wolfram-Alpha 7:04

V10:

• Determinante 09 - Hauptsatz: Matrix invertierbar genau dann wenn Determinante nicht 0 bzw. LGS eindeutig lösbar 7:21
• In der Vorlesung wird noch insbesondere der Determinantenmultiplikationssatz behandelt, siehe Vorlage...

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Vorlesung 11/12/13 - Vektorräume

• Skript "07_Vektorräume-Skript.pdf"

V11: Definition Vektorraum, wichtige Beispiele, Unterräume

• Vektorräume 01 - Intro R^2: Skalarmultiplikation und Vektoraddition mit Übung 7:18
• Vektorräume 02 - Definition Vektorraum 5:43
• Vektorräume 03 - wichtige Beispiele: R^(mxn) - Vektorraum der mxn-Matrizen 2:46
• Vektorräume 04 - wichtige Beispiele: R^n - Vektorraum der Spaltenvektoren 2:58
• Vektorräume 05 - wichtige Beispiele: Vektorraum der reellen Funktionen 13:41
• Vektorräume 06 - wichtige Beispiele: Pol(R) - Vektorraum der reellen Polynome 11:58
• Vektorräume 07 - Unterräume: Definition Unterraum 2:03
• Vektorräume 08 - Unterräume: Übung 1 im R^2 mit x=0 3:35
• Vektorräume 09 - Unterräume: Übung 2 im R^3 mit -z=3x+y/2 6:30
• Vektorräume 10 - Unterräume: Übung 3 im R^3 mit xyz=2 2:01
• Vektorräume 11 - Unterräume: Übung 4 Polynome vom Grad kleiner gleich n 7:05
• Vektorräume 12 - Unterräume: Bemerkung - Unterraum ist Vektorraum, kleinster & größter Unterraum 9:24

V12: Linearkombinationen, lineare Hülle

• Vektorräume 13 - Linearkombinationen: Definition und Beispiele 8:16
• Vektorräume 14 - Lineare Hülle: Definition und Beispiele 7:00
• Vektorräume 15 - Übung: Lineare Hülle ist ein Unterraum 5:42

V13: Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem

• Vektorräume 16 - Lineare Unabhängigkeit: Definition 3:50
• Vektorräume 17 - Lineare Unabhängigkeit: Übung 1 mit Kriterium ein Vektor linear unabhängig 18:04
• Vektorräume 18 - Lineare Unabhängigkeit: Übung 2 mit Kriterium zwei Vektoren linear unabhängig 11:31
• Vektorräume 19 - Erzeugendensystem: Definition und Übung 1 im R^2 10:31
• Vektorräume 20 - Erzeugendensystem: Übung 2, Polynome und Matrizen 5:05

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Vorlesung 14/15/16 - Basis und Dimension

• Skript "08_Basis-und-Dimension-Skript.pdf"

V14: Basis, Koordinaten

• TODO
• Die ersten beiden Themen wurden bereits in der Vorlesung behandelt, die Folgenden bitte ansehen:
• Basis und Dimension 01 - Definition Basis und Beispiele
• Basis und Dimension 02 - Standardbasis bei Vektoren, Matrizen und Polynomen
• Basis und Dimension 03 - Satz: Basis-Kriterium für n Vektoren im R^n 10:20
• Basis und Dimension 04 - Übung zu Basis-Kriterium für n Vektoren im R^n 4:34
• Basis und Dimension 05 - Koordinaten: Eindeutigkeit der Koeffizienten in Basisdarstellung 4:23
• Basis und Dimension 06 - Koordinaten: Definition und Beispiele 11:29
• Uncut Video: Basis und Dimension 07 - Länge Basis BIS Unterraum und Dimension, bitte das folgende Thema daraus vorbereiten:
• Basis und Dimension - Länge der Basis im R^n

V15 / V16: Länger der Basis, Dimension, Dimension von Unterräumen

• Bitte die restlichen Themen aus Basis und Dimension 07 - Länge Basis BIS Unterraum und Dimension vorbereiten:
• Basis und Dimension - Länge der Basis in V
• Basis und Dimension - Basisauswahl und Basisergänzung
• Basis und Dimension - Dimension
• Basis und Dimension - Unterraum und Dimension
• Folgende beiden Themen werden in der Vorlesung behandelt:
• Basis und Dimension - Unterräume des R^3
• Basis und Dimension - Dimensionsformel für Unterräume

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Vorlesung 17/18 - Rang von Matrizen

• Skript "09_Rang_von_Matrizen-Skript.pdf"

V17: Zeilenrang, Spaltenrang und Rang, Zusammenhang zu LGS

• Uncut Video: Rang von Matrizen 01 - Teil 1 47:09

V18: Hauptsatz zu Rang, Matrixlinksmultiplikation ist linear, Beispiele aus der Analysis

• Uncut Video: Rang von Matrizen 02 - Teil 2 1:05:06

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Vorlesung 19/20/21 - Lineare Abbildungen

• Skript "10_Lineare_Abbildungen-Skript.pdf" 

V19: Lineare Abbildungen, Kern, Bild

• Lineare Abbildungen 01 - Intro: Beispiele Matrixmultiplikation und Koordinatenfunktion 10:25
• Uncut Video: Lineare Abbildungen 02 - Definition BIS R^n -> R^m 1:10:13
  
• Folgende Themen werden in der Vorlesung behandelt:
• Lineare Abbildungen - Vektorraum der linearen Abbildungen
• Lineare Abbildungen - Komposition
• Lineare Abbildungen - Kern
• Lineare Abbildungen - Injektivität und Kern
• Lineare Abbildungen - Bild und Surjektivität

V20: Konstruktion mit Prinzip der linearen Fortsetzung, Isomorphie

• Uncut Video:  Lineare Abbildungen 03 - Konstruktion mit Prinzip der linearen Fortsetzung 37:50
• Folgende Themen werden in der Vorlesung behandelt:
• Lineare Abbildungen - Isomorphie
• Lineare Abbildungen - Isomorphie und Dimension

V21: Dimensionsformel für lineare Abbildungen

• Uncut Video: Lineare Abbildungen 04 - Dimensionsformel 53:07
  

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Vorlesung 22 - Darstellende Matrizen

• Skript "11_Darstellende_Matrizen-Skript.pdf"
• Uncut Video: Darstellende Matrizen - Intro BIS Ende 1:02:42

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Vorlesung 23/24 - Eigenwerte

• Skript namens "12_Eigenwerte-Skript.pdf": 

V23: Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume und geometrische Vielfachheit

• Uncut Video: Eigenwerte 01 - Intro mit Beispielen 23:29
• Folgende Themen werden in der Vorlesung behandelt:
• Eigenwerte - Definition
• Eigenwerte - Eigenraum
• Eigenwerte - Geometrische Vielfachheit

V24: Berechnung von Eigenwerten, Charakteristisches Polynom und algebraische Vielfachheit

• Uncut Video: Eigenwerte 02 - Berechnung bei Matrizen BIS Darstellende Matrizen 1:27:05, mit den Themen:
• Eigenwerte - Berechnung bei Matrizen
• Eigenwerte - Charakteristisches Polynom
• Eigenwerte - Algebraische Vielfachheit
• Eigenwerte - Algebraische und geometrische Vielfachheit
• Eigenwerte - Darstellende Matrizen

Anwendungen (optional, werden nicht besprochen):

• Markov-Ketten und stochastische Matrizen: Wikipedia
• Google's PageRank-Algorithmus zur Bewertung von Webseiten für Suchmaschinen: Wikipedia, Paper dazu von den Google-Gründern Larry Page und Sergey Brin

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Vorlesung 25/26 - Diagonalisierung

• Skript namens "13_Diagonalisierung-Skript.pdf"

V25

• Uncut Video: Diagonalisierung 01 - Intro BIS Matrizen 53:42
• Uncut Video: Diagonalisierung 02 - Kriterium für Matrizen für V25 nur bis 5:10 (insgesamt 1:04:36)

V26

• Uncut Video: Diagonalisierung 02 - Kriterium für Matrizen für V26 ab 5:10 - Ende (insgesamt 1:04:36)
• Uncut Video: Diagonalisierung 03 - Kriterium für Endomorphismen 21:00

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Vorlesung 27/28/29 - Euklidische Vektorräume

• Skript namens "14_Euklidische_Vektorräume-Skript.pdf"

V27: Standardskalarprodukt, allgemeine Definition und weitere Beispiele

• Euklidische Vektorräume 01 - Intro: Standardskalarprodukt im R^2 BIS Beispiele 1:15:06

V28: Skalarprodukte im R^n; Länge, Winkel von Vektoren

• Euklidische Vektorräume 02 - Skalarprodukte im R^n; Länge, Winkel von Vektoren 1:14:13

V29: Orthogonale Projektion und Gram-Schmidt-Verfahren

• Euklidische Vektorräume 03 - Orthogonale Projektion und Gram-Schmidt-Verfahren 1:08:22

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Vorlesung 30 - Hauptachsentransformation

• Skript namens "15_Hauptachsentransformation-Skript.pdf"
• YouTube Playlist "Lineare Algebra - Hauptachsentransformation", Inhalt:
• Hauptachsentransformation 01 - Intro: orthogonale Diagonalisierbarkeit 2:24
• Hauptachsentransformation 02 - Intro: Übung zu orthogonal diagonalisierbar & Vermutung 13:52
• Hauptachsentransformation 03 - orthogonale Matrizen: Definition und Bemerkung 4:39
• Hauptachsentransformation 04 - orthogonale Matrizen: Übung 5:24
• Hauptachsentransformation 05 - symmetrische Matrizen: Eigenschaften 9:30
• Hauptachsentransformation 06 - Der Satz & Beweis, Teil 1 4:49
• Hauptachsentransformation 07 - Der Satz & Beweis, Teil 2 15:40
• Hauptachsentransformation 08 - Übung orthogonal diagonalisieren Teil 1, Eigenwerte 10:08
• Hauptachsentransformation 09 - Übung orthogonal diagonalisieren Teil 2, Eigenvektoren, Gram-Schmidt 18:30
• Hauptachsentransformation 10 - verschiedene Eigenräume stehen senkrecht 3:46

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